ベストアンサーに選ばれた回答

12年後も飾ることは可能です

干支の置物は、お守りでもなければお札などでもありません。なので、基本的には神社などに納める必要はありませんよ。
もしもあなたが気になるようであれば、神社に持って行くのも良いと思います。最近はしめ飾りやお守りなどと一緒に持って行く人も多いようで、神社側も基本的には受け取ってくれるそうですよ。

処分したくないのなら、その年に飾った干支の置物を購入した箱にしまい、大切に保管して12年後、また飾ってあげましょう。
繰り返し使うことで、また運気を呼び込んでくれる、幸せを運んでくれると言われているので、できれば12年後も飾るのが良いと思います。
12の干支が揃った時点で、お父さんにその旨を伝えてあげたほうが良いかも知れませんね。

また、もしも処分という選択肢を選んだ場合には、次のような方法で処分すると良いでしょう。

①　干支の置物を水で綺麗に洗ってあげる。
②　「1年間、どうも有難うございました」などと、感謝の気持ちを伝える。
③　洗ったら綺麗なタオルで置物を拭く。
④　白い布または半紙などで綺麗に包み、自治体の処分方法に合わせて処分する。

もっと簡易な方法を望むなら、お塩やお酒などをふりかけ、感謝の気持ちを伝えてから、金づちなどを使って置物を割り、処分する方法もあります。

いずれにしても、1年間お世話になったことを感謝することを忘れてはいけません。あとはあなたの考え方次第なので、処分するか12年後に飾るかを考えてくださいね。

縁起物なので大切に使うことが望ましい

干支の置物は12年後に再利用するのが望ましい。干支の置物＝縁起物なので、何もしないで処分をするのは罰当たりな気もする。
購入時の箱があるなら、半紙などに包み箱に入れて保管し、箱がない場合は半紙で包んで上から新聞紙やクッション材などを巻いて割れないように保管するのが良いだろう。

何らかの理由で処分しないといけない場合は、上の人の回答の通りで構わない。ただ、生ごみなどと同じ袋に入れることのないよう、気を付けておくこと。
あくまでも「縁起物」ということを忘れないように！