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正確には、366日分の誕生日パワーストーンがあります。

はい、誕生日ごとにパワーストーンが割り当てられています。
誕生石っていうのは、一般的にサラさんがおっしゃる通り12ヶ月、
つまり生まれた月ごとの方が広く知られていますね。
ちなみにWikipediaからですが、ざっと書き出すと、

1月：ガーネット
2月：アメシスト（紫水晶）
3月：アクアマリン、コーラル（珊瑚）、ブラッドストーン
4月：ダイヤモンド、クォーツ（水晶）
5月：エメラルド（翠玉、緑玉）、ジェイド（翡翠）
6月：パール（真珠）、ムーンストーン、アレキサンドライト
7月：ルビー、カーネリアン
8月：ペリドット、サードニックス（紅縞瑪瑙）
9月：サファイア、アイオライト
10月：オパール、トルマリン、ローズクォーツ（紅水晶）
11月：トパーズ、シトリン（黄水晶）
12月：ターコイズ（トルコ石）、ジルコン、タンザナイト、ラピスラズリ（瑠璃）

というふうに月の誕生石はなっているようです。
シトリンは11月の誕生石だから、8月に誕生日のある人は、
ペリドットかサードニックスが誕生石になるんじゃないの？と
思われるでしょうが、誕生日石で見た場合は8月1日がシトリンなのですね。
この辺の割り当ての違いと言いますかズレと言いますかについては、
私も詳細は存じません。。。ごめんなさい。
誕生日石とか、誕生日パワーストーンとかで検索してみると、
いくつかのサイトが見付かります。ただ、どこもなぜ月と日の
2パターンができてしまったのかは書いていませんね。

私は懐疑的な方ですが・・・

そもそも、誕生日や誕生月になんでパワーストーンが対応するの？って話でして。
根拠のま～ったく無い話ですよね。ですからパワーストーンを身に着けると開運するとかじゃなくて、
誕生日とか誕生月とかとの関連を気にせずに、自分が買うときはパッと見て気に入ったパワーストーンを買うとか、
人からのプレゼントだから大切にして当然というか、
そんなふうにすれば良いと思います。
無理にスピリチュアルに絡めなくて良いかも。