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基本はお寺に持っていって処分する方法

数珠、ブレスレットなどは、願いが叶ったとき、役目を全うしたときなどに切れるようになっています。きっとあなたのことを助けたり、願いを叶えてくれたりしたんだと思います。
さて、数珠の処分方法についてですが、いろいろな方法があるようですね。基本的にはお寺に持って行ってお参りし、お寺側に処分してもらう方法です。仏教のしきたりなので、神社ではなくお寺に持って行くようにしましょう。
今までお世話になってきたこと、助けてもらったことを感謝しながら供養する気持ちを持つことが大切です。当然、お寺に処分を依頼することになるので、いくらかの費用は必要になります。
費用はお寺によって様々で、無料で納められるところもあれば、本人の意思で決められるところ、一定の金額が決まっているところがあります。高くても2000円程度だと思うので、近くのお寺に納めるのが一番の処分方法ではないでしょうか。

また、近くにお寺がない場合や、お寺に行けないなどの理由があるなら、個人で処分する方法もあります。庭などのあまり使っていない場所を見つけ、近くに庭木や植物があることを確認してください。そしてその植物の根元に埋めて処分するようにします。
数珠は元々植物の一部なので、土に埋めることで命に繋げるという意味があります。
もしも庭などがないなら、数珠に塩を売り、半紙などの白い紙に包みます。そして白い封筒に入れて神棚または高いところに置いて、「今までありがとうございます」という感謝の気持ちを伝え、そのあと普通に処分します。

今までお世話になってきた数珠なので、粗末にだけは扱わないようにしておきましょう。

普通に処分してかまいませんよ。

数珠は呪いの道具ではないので、普通通り処分しても構いません。
ただ粗末には扱わないようにしてくださいね。
祈りのための道具なので、普通に処分したから悪いことが起こるということはまずないと思います。
処分するときは、お世話になりましたと感謝の気持ちを持つようにすることは忘れてはいけませんよ。
それと、お気に入りの数珠なら、ゴムを替えて新しく生まれ変わらせるのも良いかも知れません。天然石でできている数珠なら、浄化させることで良い運気を巡らせることができます。
もしもブレスレットにするなら普通のゴムだと耐久性がないので、手芸店に行って強度のあるゴムを探してみるといいですよ。