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お宮参りは子供の健康と成長を願う行事

お宮参りとは、子供の無病息災を願って、生まれた土地の神社にお参りする行事のことです。通常、男の子は生後31日目、女の子は生後33日目に行なわれます。
原則的に神社での参拝は、男の子は鳥居の左側から入って右に、女の子は右側から入って左に出ます。父方の祖母が赤ん坊を抱くのが一般的だとされてきましたが、昔に比べると現代はだいぶ簡略化されているので、母方の祖母や父親が赤ん坊を抱いても問題ないでしょう。そして神社にお参りしてお賽銭を入れたり、神前で神主にお祓いを受けて祝詞を上げてもらったりして、無病息災とともに、その土地の守り神である産土神（うぶすながみ）の氏子として認めてもらうのです。
祝詞を上げてもらう場合は、上段に「御玉串料」「御初穂料」を、下段に赤ちゃんの名前を表書きした白い封筒、もしくは祝儀袋をお礼として渡します。金額に関しては5千円程度が一般的です。
ちなみに、お宮参りの際に、わざと赤ん坊の鼻をつまんだり、つねったりして泣かせる風習があります。これは、産土神に対して赤ん坊がより確実に氏子と認められるよう、強く印象づけるための作法なのです。
お宮参りが済んだら、赤ん坊と両親、祖父母が、仲人やお祝いを頂戴した方の家に、お赤飯を持って挨拶に回ります。これは質問者さんには直接関係ありませんが、挨拶を受けた家の方では、でんでん太鼓を背負った「張り子の犬」を赤ん坊に贈ることになっています。この犬の由来は、厄除けの狛犬にあり、でんでん太鼓には魔除けの意味が込められています。

お宮参りの由来は、平安時代の恵方参りです

お宮参りは、土地の守り神（産土神といいます）に子供の誕生を報告し、健やかに育ってくれるように願う祝い事です。平安時代、貴族の間に、生後1ヶ月前後の赤ん坊を連れてその年の恵方（吉方位）にある知人の家を訪ねる「恵方参り」という風習がありました。この恵方参りが、お宮参りの由来となっています。
お宮参りの際の赤ん坊の服装は、白羽二重の内着の上に、紋がついた祝い着を被せ、抱いている人間の首の後ろでひもを結びます。この赤ん坊の祝い着は、慣例として母方の実家から贈られることになっています。
お参りの仕方は、神社での参拝と変わりません。鳥居をくぐってすぐの場所にある「手水舎（ちょうずや）」で手を清め、口中をきれいにしてから社殿に進み、お賽銭をあげてください。そして次に鈴を鳴らしてから、2度、礼をして手を打ち、手を合わせてお願いごとをします。最後に一礼して終わりです。